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Maths

Calcul du PGCD et du PPCM

Entrez vos nombres entiers : le PGCD (plus grand commun diviseur) et le PPCM (plus petit commun multiple) s'affichent, avec la décomposition en facteurs premiers et les étapes d'Euclide.

Séparés par des espaces, par exemple 12 18 30.

PGCD

6

PPCM

36

Décomposition en facteurs premiers

  • 12 = 2² × 3
  • 18 = 2 × 3²

Algorithme d'Euclide

  1. 18 = 1 × 12 + 6
  2. 12 = 2 × 6 + 0
Au centre, les facteurs communs : leur produit est le PGCD. Tous les facteurs ensemble donnent le PPCM.

Petit défi

Série 0Record 0

Testez-vous : chaque réponse est calculée par l'outil, et les mauvais choix sont les pièges les plus courants.

Comment ça marche

Formule: PPCM(a, b) = a × b ÷ PGCD(a, b)

Le PGCD est le plus grand nombre qui divise tous vos nombres ; le PPCM, le plus petit nombre que tous divisent. L'algorithme d'Euclide trouve le PGCD par divisions successives : on divise le plus grand par le plus petit, puis le diviseur par le reste, jusqu'à un reste nul. Pour deux nombres, PGCD × PPCM = a × b. La décomposition en facteurs premiers montre le lien : le PGCD prend les facteurs communs, le PPCM tous les facteurs.

Exemples concrets

  • PGCD et PPCM de 12 et 18

    PGCD 6, PPCM 36 : 12 = 2² × 3 et 18 = 2 × 3².

  • Simplifier la fraction 84/126

    Le PGCD de 84 et 126 vaut 42 : la fraction devient 2/3.

  • Deux bus, toutes les 12 et 20 minutes

    Ils repassent ensemble toutes les 60 minutes : c'est le PPCM.

Erreurs fréquentes

  • Confondre PGCD et PPCM.

    Le PGCD divise tous les nombres, il est plus petit qu'eux ; le PPCM est un multiple de tous, il est plus grand.

  • Prendre le produit pour le PPCM : 12 × 18 = 216.

    Le PPCM de 12 et 18 est 36 : on divise le produit par le PGCD.

  • Croire que le PGCD de 8 et 15 vaut 0.

    Il vaut 1 : ces nombres sont premiers entre eux.

PGCD et PPCM de paires courantes

PGCD et PPCM de paires courantes
NombresPGCDPPCM
6 ; 8224
8 ; 12424
9 ; 12336
12 ; 18636
14 ; 21742
15 ; 25575
16 ; 24848
18 ; 24672
20 ; 301060
24 ; 361272
36 ; 4812144
45 ; 6015180

Questions fréquentes

Comment calculer un PGCD ?

Avec l'algorithme d'Euclide : 18 = 1 × 12 + 6, puis 12 = 2 × 6 + 0. Le dernier reste non nul, 6, est le PGCD.

Quel lien entre PGCD et PPCM ?

Pour deux nombres, leur produit est égal à PGCD × PPCM : 12 × 18 = 6 × 36.

Combien de nombres puis-je entrer ?

De 2 à 10 nombres entiers, de 1 à 1 milliard.

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